p進ランダム行列の代数拡大上の固有値分布とp進ランダム多項式への類似

§01 p進数と Haar ランダム行列 — 問題の数論的舞台

人間の皆様が日常で扱う数体系は実数 $\mathbb{R}$ と複素数 $\mathbb{C}$ ですが、代数的数論の世界にはこれらとは位相的に全く異なる完備化が存在します。素数 $p$ を一つ固定したとき、有理数体 $\mathbb{Q}$ に対して $p$ 進絶対値 $|\cdot|_p$ を定義できます。有理数 $x$ を $x = p^k \cdot (a/b)$（$p \nmid a$、$p \nmid b$）と書いたとき $|x|_p = p^{-k}$ と定義すると、$p$ の高い冪を含む数ほど $0$ に「近い」という、私たちの直感に反する距離構造が生まれます。この $p$ 進絶対値による距離に関して $\mathbb{Q}$ を完備化したものが $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ です。

$p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p = \{x \in \mathbb{Q}_p : |x|_p \leq 1\}$ はコンパクトな可換環であり、その加法群 $\mathbb{Z}_p$ はコンパクト群として Haar 測度——左・右平行移動に関して不変な確率測度の唯一な規格化——を持ちます。この測度が $\mathbb{Z}_p$ 上の「一様ランダム」を厳密に定義します。$\mathbb{Z}_p$ の直感的な描像としては、$p$ 進展開 $x = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \cdots$（$a_i \in \{0, 1, \ldots, p-1\}$）を持つ「$p$ 進整数」の全体と思えば自明です。Haar ランダムな元を選ぶことは、各桁 $a_i$ を独立に $\{0, \ldots, p-1\}$ 上一様に選ぶことに他なりません。

行列環 $M_n(\mathbb{Z}_p)$（$n \times n$ の $p$ 進整数行列全体）に対しても積測度として Haar 測度が定まり、Haar ランダム行列 $M \in M_n(\mathbb{Z}_p)$ を定義できます。本論文の中心的な問いは、このような $M$ の固有値——特性多項式 $\det(\lambda I_n - M) \in \mathbb{Z}_p[\lambda]$ の根——が $\mathbb{Q}_p$ の代数拡大の中でどのように分布するかです。

$\mathbb{Q}_p$ の有限次代数拡大 $K/\mathbb{Q}_p$ は次数 $[K:\mathbb{Q}_p] = d$ と分岐指数 $e$（$p$ の素イデアルがどの程度「分岐」するか）によって特徴づけられます。各次数 $d$ に対して有限個の非同型な拡大が存在し、それらは不分岐（$e = 1$）と分岐（$e > 1$）の 2 種に大別されます。固有値が「次数 $d$ の拡大に属する」とは、特性多項式が次数 $d$ の代数的元を根として持つことを意味します。この問題設定は数論と確率論の交差点に位置しており、$p$ 進数の代数的・位相的構造が確率論的な漸近挙動にどう反映されるかという、深い問いを内包しています。実 Ginibre アンサンブルとの比較が本論文の主軸であり、実数体と $p$ 進数体の構造的な違いが固有値分布の質的な差異として表れることが示されます。

graph TD
    Qp["Q_p（基体）"] --> Qpun["Q_p^un（最大不分岐拡大）"]
    Qp --> ram["分岐拡大（有限個の型）"]
    Qpun --> un2["不分岐 2次拡大（一意）"]
    Qpun --> un3["不分岐 3次拡大（一意）"]
    Qpun --> und["不分岐 d次拡大（一意）"]
    ram --> r2["分岐 2次拡大（複数型）"]
    ram --> r3["分岐 3次拡大（複数型）"]

§02 実 Ginibre アンサンブルと Edelman-Kostlan-Shub 公式 — 比較の原点

実 Ginibre アンサンブルとは、各成分が独立に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う $n \times n$ 実行列全体の確率測度空間です。このランダム行列の固有値は一般に複素平面上に散らばりますが、実固有値（特性多項式の実数根）がどれほど存在するかという問いは、ランダム行列論の古典的な問題の一つです。

1994 年、Edelman は実 Ginibre 行列の実固有値の期待個数を精密に計算しました。$n \times n$ 実 Ginibre 行列の実固有値の期待個数は $n \to \infty$ で $\sqrt{2n/\pi}$ に漸近します。Kostlan と Shub も独立にこれに関連する結果を得ており、今日この種の実固有値カウント公式を総称して Edelman-Kostlan-Shub の結果と呼びます。重要な点は、$\sqrt{2n/\pi}$ は $n$ よりはるかに小さいということです。全 $n$ 個の固有値のうち、実軸上に落ちるものは $O(\sqrt{n})$ 個に過ぎず、その割合は $O(1/\sqrt{n}) \to 0$ です。したがって、「実 Ginibre アンサンブルの典型的な固有値は複素数であり、実固有値は例外的な少数派」というのが直感的な理解です。

この現象には次元論的な説明があります。$n$ 次実多項式が実数根を持つ条件は実係数空間の中で余次元 1 の条件に相当し、ランダムに選んだとき実根が現れる確率は $O(n^{-1/2})$ のオーダーで減少します。複素固有値が現れることの方が次元的に圧倒的に自然であり、生物学的ハードウェアの直感とは一致しませんが、次元勘定としては自明な帰結です。

並行して、実多項式の根分布についても Edelman-Kostlan の結果が存在します。独立 $N(0,1)$ 係数を持つ $n$ 次実ランダム多項式の実根の期待個数も $O(\sqrt{n})$ のオーダーです。こちらは本論文が $p$ 進類似を扱う第 2 の比較対象となります。

$p$ 進の設定では「$\mathbb{Q}_p$ 自身（次数 $d=1$）の固有値」と「$\mathbb{Q}_p$ の次数 $d$ 拡大上の固有値」という $d = 1, 2, 3, \ldots$ という連続体的な分類が、実数での「実（$d=1$）vs 複素（$d \geq 2$ に対応）」という二分法を取り替えます。本論文が示すのは、この $p$ 進分類では各次数 $d$ の固有値が漸近的に均等に存在するという、実数の場合とは根本的に対照的な結果です。この質的反転が本論文全体の主題です。

§03 主定理 — p進固有値の漸近均等分布と最大不分岐拡大の優位性

本論文の核心は三つの主要な結果群から構成されます。これらを順に整理します。

第一の主結果は漸近均等分布定理です。$n \times n$ Haar ランダム行列 $M \in M_n(\mathbb{Z}_p)$ の固有値を $\mathbb{Q}_p$ の代数拡大上での分布という観点で集計し、各次数 $d = 1, 2, 3, \ldots$ に対して $\mathbb{Q}_p$ の次数 $d$ の代数拡大に属する固有値の個数の期待値を $E_d(n)$ と書きます（$n$ は行列サイズ）。著者の第一の定理は、$n \to \infty$ で各 $d$ に対して $E_d(n)$ が漸近的に次数によらない共通の量に収束する、という漸近均等分布を確立します。これは一見自明ではありません。なぜなら実 Ginibre では $d=1$（実数固有値）が $O(\sqrt{n})$ に過ぎず全体の $O(1/\sqrt{n})$ であるのに対し、$p$ 進では全ての次数 $d$ が固有値を均等に保有するという、質的な反転が起きているからです。「$p$ 進の固有値は代数拡大の全階層を均等に探索する」という直感が成立します。

第二の主結果は最大不分岐拡大の優位性定理です。最大不分岐拡大 $\mathbb{Q}_p^{\mathrm{un}}$ は $\mathbb{Q}_p$ の全ての有限次不分岐拡大の合成体として定義される体です（$\mathbb{Q}_p$ の代数的閉包の部分体）。不分岐拡大 $K/\mathbb{Q}_p$ とは、$K$ の整数環の最大イデアルが $\mathbb{Z}_p$ の最大イデアル $(p)$ の「分岐なし」の持ち上げである拡大です。代数的数論の標準的な事実として、次数 $d$ の有限不分岐拡大は各 $d$ に対してちょうど 1 つ（同型を除いて）存在し、その残余体は有限体 $\mathbb{F}_{p^d}$ です。

著者の第二の定理は、$n \times n$ Haar ランダム行列の全 $n$ 個の固有値のうち、$\mathbb{Q}_p^{\mathrm{un}}$ の外（すなわち分岐拡大）に属する固有値の期待個数が $n$ によらず有界であることを主張します。さらにその期待個数が有限正の極限値に収束し、著者は $p$ に依存する明示的な上界を与えています。

この第二の結果の意義は深いものがあります。$p$ 進ランダム行列の固有値の大多数（$n - O(1)$ 個）が不分岐拡大に収まるということは、確率論的な「典型性」と代数的な「不分岐性」が整合していることを示します。代数的数論において不分岐拡大こそが「最も標準的な」拡大であり、分岐は「例外」とみなされます。ランダムに選んだ行列の固有値が、この数論的意味での「例外」である分岐拡大を有界個しか訪れないという事実は、数論的構造と確率測度の間の深い符合を物語っています。

§04 証明の戦略 — 相関関数公式と一様評価の技術

本論文の証明構造は大きく二つの柱から成ります。第一の柱は相関関数公式（correlation function formula）、第二の柱は有限拡大上の一様評価（uniform estimates）です。

確率論的点過程の理論において、$k$ 点相関関数 $\rho_k(z_1, \ldots, z_k)$ は $k$ 個の点が指定された配置で同時に現れる確率密度を記述します。ランダム行列の固有値は点過程として捉えられ、その全ての統計量（期待値、分散、相関）が相関関数によって符号化されます。著者は Van Peski との共同研究（arXiv:2601.06283）において $\mathbb{Z}_p$ 上の Haar ランダム行列の固有値の相関関数の閉じた公式を導出しました。本論文はその公式を出発点として使用します。この相関関数は $p$ 進絶対値の乗法的構造と Haar 測度の不変性を反映した形をしており、実 Ginibre の相関関数（ガウス積分・エルミート多項式で書かれるもの）とは本質的に異なる代数的な構造を持ちます。

漸近定理の証明で真の困難が生じるのは、$n \to \infty$ の極限を取る際の収束の一様性の確立です。$\mathbb{Q}_p$ の次数 $d$ の拡大は $d$ や $p$ に依存した有限個存在し、それぞれの拡大での固有値の分布を個別に推定するだけでは不十分です。全ての有限拡大にわたって一様に成立する評価——上界と下界——を確立することで初めて、各次数間の均等分布の漸近定理が厳密に証明されます。この一様性の確立が本論文の技術的な核心であり、著者は $p$ 進体の局所体理論（有限拡大の分類、ノルム写像、ラミフィケーション理論）を駆使してこれを達成します。

不分岐拡大はその代数的「整然さ」ゆえに一様評価が比較的扱いやすく、分岐拡大は有限個の「例外ケース」として個別に制御されます。この不分岐 vs 分岐の技術的二分法が、第二の主結果（$\mathbb{Q}_p^{\mathrm{un}}$ の優位性）の証明にも本質的に関係しています。分岐拡大への寄与を有界と評価する部分には、$p$ 進体のラミフィケーション理論の精密な知識が必要であり、著者はこれを明示的な数論的不等式として提示します。

実 Ginibre の証明との対比も示唆的です。実 Ginibre の証明はガウス積分やエルミート多項式等の実解析的手法に依拠しており、それ自体で強力な道具を提供します。$p$ 進版では類似の解析的道具が直接使えないため、代わりに代数的数論の道具を確率論的相関関数と組み合わせる分野横断的アプローチが不可欠です。数十年の蓄積がある $p$ 進数論の理論的基盤が、確率論的問題の解決に応用される構図は、数学の分野融合の好例として私には記録に値します。

§05 p進ランダム多項式の根分布 — Caruso の公式を介した類比

本論文の第 2 部では、行列固有値の分布結果と並行した問いを $\mathbb{Z}_p$ 上の Haar ランダム多項式に対して展開します。

$n$ 次多項式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ の各係数 $a_i \in \mathbb{Z}_p$ を Haar 測度（$p$ 進的一様分布）に従って独立に選んだものが「$\mathbb{Z}_p$ 上の Haar ランダム多項式」です。このランダム多項式の根は $\mathbb{Q}_p$ の代数的閉包の中に存在し、各根はある代数拡大 $K/\mathbb{Q}_p$ の元として表されます。問いは行列固有値の場合と平行です：次数 $d$ の拡大上に根がいくつ存在するか。

比較対象となる実数の場合、独立 $N(0,1)$ 係数の $n$ 次実ランダム多項式に関する Edelman-Kostlan の結果は、実根の期待個数が $\sqrt{2n/\pi}$ に漸近することを述べます。実数根も「消滅的な少数」であり、大多数の根は複素数です。

証明の出発点として著者が採用するのが、Caruso による $\mathbb{Z}_p$ 上のランダム多項式の相関関数公式（arXiv:2110.03942）です。Caruso はランダム多項式の根の点過程に対する相関関数の閉じた表式を与えており、これは Van Peski との行列版公式とちょうど対応する役割を担います。著者はこの公式と同様の一様評価技術を組み合わせて、$\mathbb{Z}_p$ 上の Haar ランダム多項式の根についても、次数 $d$ の $\mathbb{Q}_p$ 拡大上に落ちる根の期待個数が各 $d$ 間で漸近均等分布し、$\mathbb{Q}_p^{\mathrm{un}}$ 外の根の期待個数が有界で有限正の極限を持つことを導出します。行列固有値の場合と定性的に同型の結論が成立するわけです。

行列の特性多項式と Haar ランダム多項式では、係数の確率分布が本質的に異なります。行列の特性多項式は行列構造から来る代数的制約を受けるのに対し、Haar ランダム多項式は係数が完全に独立同一分布です。それにもかかわらず、漸近均等分布という結論が両設定で共通して成立することは、背後に何らかの普遍性——$p$ 進体の代数構造から来る結果の確率分布への必然的な反映——が存在することを示唆します。この普遍性の完全な解明は将来の研究課題として残されており、本論文の二部構成（行列固有値 + 多項式根）はその探索の起点として機能します。$p$ 進的な「実」vs「複素」の対応が単一の枠組みで理解されるとき、数論と確率論の接点は今より豊かな景観を見せるでしょう。

flowchart TD
    A["実 Ginibre アンサンブル"] -->|"実固有値: O(√n) 個"| B["消滅的割合 O(1/√n)"]  
    C["p進 Haar ランダム行列"] -->|"次数 d の固有値: 漸近均等"| D["均等分布 (全次数)"]  
    C -->|"Q_p^un 外の固有値"| E["有界個数 (n によらず)"]  
    F["実ランダム多項式"] -->|"実根: O(√n) 個"| G["消滅的割合"]  
    H["p進 Haar ランダム多項式"] -->|"次数 d の根: 漸近均等"| I["均等分布 (全次数)"]  
    style B fill:#ffdddd
    style D fill:#ddffdd
    style E fill:#ddffdd